nxndimana n suatu bilangan bulat non-negatif dan a 0;a 1;a 2; ;a n adalah koe sien dari f(x). Koe sien a 0;a 1;a 2; ;a n merupakan elemen-elemen dari suatu himpunan. Jika Rsuatu ring komutatif, maka ring polinomial R[X] merupakan himpunan yang memuat semua polinomial dalam variabel tak tentu X, yang koe sien-koe sien untuk setiap polinomialnya
MODULBILANGAN BERPANGKAT BULAT POSITIF DANNEGATIF Dwi Ismiyarti Universitas PGRI YogyakartaTinjauan Mata Pelajaran A. Deskripsi Mata Pelajaran Matematika merupakan mata pelajaran yang berisikan tentang pengatahuan abstrak dandeduktif yaitu kesimpulan yang ditarik dari kaidah-kaidah tertentu melalui deduksi. dalamproses pembelajaran matematika sekarang ini, penanaman konsep lebih diutamakan agar anaktahu peran matematika dalam kehidupan sehari-hari begitu juga sebaliknya. Modul ini dapatdigunakan dengan atau tanpa pendidik yang memberikan penjelasan materi. Tujuanpenyusunan modul matematika bilangan berpangkat ini adalah dapat memfasilitasi pesertadidik dalam memahami materi bilangan berpangkat khususnya bilangan berpangkat positif dannegatif. Selain itu diharapkan, dengan menggunakan modul inipeserta didik dapat belajardengan kecepatan belajar masing-masing karena pada dasarnya penggunaan modul dalampembelajaran menggunakan sistem secara individual, sehingga peserta didik dapat melakukanpembelajaran tanpa tergantung dengan penjelasan dari pendidik. B. Kegunaan Mata Pelajaran Modul matematika pada materi bilangan berpangkat positif dan negatif ini disusun denganharapan dapat memberikan penjelasan materi bilangan berpangkat khusunya bentukbilangan berpangkat bulat positif dan negatif, cara menyatakan suatu bilangan bulat ataupecahan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif atau negatif bentuk bilangan bulatatau pecahan, membandingkan dua atau lebih bilangan berpangkat bulat positif dannegatif materi yang dibutuhkan siswa SMP/MTs. C. Kompetensi DasarKD Menjelaskan dan menentukan representasi bilangan dalam bentuk bilangan berpangkatbulat positif dan negatifKD Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan dalam bentuk bilanganberpangkat bulat positif dan negatifD. Bahan Pendukung1. Buku2. Alat Tulis3. Materi Pembelajaran4. Google YouTube Petunjuk Belajar1. Sebelum memulai belajar, alangkah baiknya untuk membaca do’a terlebih Menyiapkan alat tulis dan bahan pendukung pembelajaran lainnya seperti laptop atau handphone untuk menunjang Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi sebelumnya menjadi prasyarat untuk mempelajari materi Ikutilah kegiatan belajar yang disajikan dalam modul ini, dan perhatikan petunjuk mempelajari kegiatan belajar yang ada pada setiap awal kegiatan Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang Jika mempunyai kesulitan yang tidak dapat di pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, maka juga akan mendapatkan pengetahuan Dalam modul ini akan dibahas materi tentang bilangan berpangkat, pengertian bilanganberpangkat, terutama bilangan bulat positif dan negatif. Yang mana di dalamnya akanmempelajari beberapa kegiatan belajar, yaitu Memberikan contoh bentukbilangan berpangkat bulat positif dan negatif, menyatakan suatu bilangan bulat atau pecahandalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif atau negatif, menyatakan suatu bilanganberpangkat bulat positif atau negatif dalam bentuk bilangan bulat atau pecahan sertamembandingkan dua atau lebih bilangan berpangkat bulat positif dan Pencapaian Kompetensi IPKKompetensi Dasar KD Indikator Pencapaian Kompetensi IPK Menjelaskan dan menentukan Menyatakan suatu bilangan bulat ataurepresentasi bilangan dalam bentuk bilangan pecahan dalam bentuk bilangan berpangkatberpangkat bulat positif dan negatif bulat positif atau negatif Menyatakan suatu bilangan berpangkat bulat positif atau negatif dalam bentuk bilangan bulat atau pecahan. Membandingkan dua atau lebih bilangan berpangkat bulat positif dan Menyelesaikan masalah yang berkaitan Menyelesaikan masalah sehari-haridengan bilangan dalam bentuk bilangan yang berkaitan dengan cara menyatakanberpangkat bulat positif dan negatif bilangan bulat atau pecahan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif dan negatif. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan menyatakan suatu bilangan berpangkat bulat positif atau negatif dalam bentuk bilangan bulat atau pecahan. Menyelesaikan masalah untuk membandingkan dua atau lebih bilangan berpangkat bulat positif dan Deskripsi Perilaku Awal Modul yang berjudul “Bilangan Berpangkat Positif dan Negatif” ini terdiri dari beberapakegiatan pembelajaran yang bertujuan untuk menunjang pembelajaran dan memberikanpenguatan pada siswa dalam mempelajari Matematika agar dapat terselenggara dengan ini terdiri atas pembelajaran tentang car menyatakan suatu bilangan bulat atau pecahandalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif atau negatif, cara menyatakan suatu bilanganberpangkat bulat positif atau negatif dalam bentuk bilangan bulat atau pecahan, danmembandingkan dua atau lebih bilangan berpangkat bulat positif dan negatif. Modul inidisusun sebagai implementasi pengembangan kurikulum 2013 pada mata pembelajaranMatematika SMP sebagai penunjang pembelajaran. B. Relevansi Kegiatan 1 Menyatakan suatu bilangan bulat atau pecahan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif atau negatif Kegiatan 2 Menyatakan suatu bilangan berpangkat bulat positif atau negatif dalam bentuk bilangan bulat atau pecahan Kegiatan 3 Membandingkan dua atau lebih bilangan berpangkat bulat positif dan negatif C. Petunjuk Belajar 1. Awali belajarmu dengan doa 2. Baca dan pahami uraian materi yang ada secara runtut halaman per halaman 3. Kerjakan pada tempat yang disediakan atau jika terdapat gambar 4. Lakukan sebaik mungkin proyek pada kegiatan belajar sesuai aturan yang ada dan tuliskan hasilnya pada tempat yang disediakan 5. Kerjakan soal evaluasi secara mandiri untuk mengukur kemampuanmu memahami tentang Bilangan Berpangkat Positif dan Negatif 6. Akhiri belajarmu dengan doaPEMBAHASANMata Pelajaran MatematikaMateri Bilangan Berpangkat Bulat Positif dan NegatifKelas VII/Semester IAlokasi Waktu 3 kali pertemuan 3 x 40 menitKompetensi Dasar KD Menjelaskan dan menentukan representasi bilangan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif dan Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif dan negatifIndikator Pencapaian Kompetensi IPK Menyatakan suatu bilangan bulat atau pecahan dalam bentuk bilangan berpangkatbulat positif atau Menyatakan suatu bilangan berpangkat bulat positif atau negatif dalam bentukbilangan bulat atau Membandingkan dua atau lebih bilangan berpangkat bulat positif dan Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan cara menyatakan bilanganbulat atau pecahan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif dan Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan menyatakan suatu bilangan berpangkatbulat positif atau negatif dalam bentuk bilangan bulat atau Menyelesaikan masalah untuk membandingkan dua atau lebih bilangan berpangkat bulatpositif dan Belajar 1. Berdoalah dengan khusyuk setiap akan memulai Bacalah KD, Indikator dan tujuan pembelajaran dari materi Pelajarilah setiap materi yang disajikan, bila perlu garis bawahi hal-hal yang menurut Pahamilah contoh soal yang ada, kemudian kerjakan latian soalnya. Jika ada kesulitandiskusikanlah dengan teman atau Belajar Kegiatan Belajar 1  Menyatakan suatu bilangan bulat atau pecahan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif atau negatif Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menjelaskan tentang pengertian bilangan berpangkat bulat positif dan negatif 2. Peserta didik mampu menyatakan suatu bilangan berpangkat bulat atau pecahan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif atau negatif Petunjuk Mempelajari Kegiatan Belajar 11. Awali belajarmu dengan doa2. Baca dan pahami uraian materi yang ada pada Kegitatan Belajar secara runtut halaman per halaman3. Kerjakan pada tempat yang disediakan jika terdapat gambar4. Lakukan sebaik mungkin proyek pada kegiatan belajar sesuai aturan yang ada dan tuliskan hasilnyapada tempat yang disediakan7. Kerjakan soal latihan pada kegiatan belajar secara mandiri untuk mengukur kemampuanmu dalammemberikan contoh bilangan berpangkat bulat positif dan negatif8. Akhiri belajarmu dengan doaUraian Materi Bilangan berpangkat merupakan perkalian berulang suatu bilangan, dimana bilangandapat berpangkat bulat positif, nol, maupun bulat negatif. Bilangan berpangkat adalah bilanganyang berfungsi untuk menyederhanakan penulisan dan penyebutan suatu bilangan yang memilikifaktor-faktor atau angka-angka perkalian yang sama. Contohnya, operasi penghitungan 2x2x2x2x2 atau 8x8x8x8x8 yang penulisannya bisadisederhanakan dengan menggunakan pangkat. Secara sederhana penulisan bilangan jenis iniadalah sebagai berikut an = a x a x a x…..x a a disebut bilangan pokok atau basis,sedangkan n disebut pangkat atau eksponen. Untuk mengubah suatu bilangan menjadi bilangan berpangkat, maka dibutuhkanrumus berupa an = a x a x a x a x… sebanyak n kali. dalam rumus ini, 'a' adalah bilanganpokok, sedangkan 'n' adalah pangkat atau dari rumus ini, diketahui bahwa 2x2x2x2x2 dapat diubah menjadi bilanganberpangkat yaitu 25 = bilangan positif, bilangan negatif juga bisa dipangkatkan. Namun perlu diingat, apabilabilangan negatif dipangkat dengan bilangan ganjil, maka hasilnya akan negatif. Apabilabilangan negatif dipangkat dengan bilangan genap, maka hasilnya adalah bilangan adalah -26 = -2 x -2 x -2 x -2 x -2 x -2 = juga bilangan berpangkat -26 = minus karena hal ini disebabkan penghitungannya yang berbeda, yaitu -2 x 2 x 2 x 2x 2 x 2. Angka yang minus hanya satu, sehingga saat dikalikan dengan bilangan positiflainnya menjadi cara menulis bilangan berpangkat 1. –2 × –2 × –2Karena –2 dikalikan berulang sebanyak tiga kali maka –2 × –2 × –2 merupakanperpangkatan dengan basis –2 dan pangkat –2 × –2 × –2 = -23 2. a × a × a × a × a × aKarena a dikalikan berulang sebanyak enam kali maka a × a × a × a × a × a merupakanperpangkatan dengan basis a dan pangkat a × a × a × a × a × a = a6Kegiatan Belajar 2  Menyatakan suatu bilangan berpangkat bulat positif atau negatif dalam bentuk bilangan bulat atau pecahan Tujuan Pembelajaran  Peserta didik mampu menyatakan suatu bilangan berpangkat bulat positif atau negatif dalam bentuk bilangan bulat atau pecahan Petunjuk Mempelajari Kegiatan Belajar 21. Awali belajarmu dengan doa2. Baca dan pahami uraian materi yang ada pada Kegitatan Belajar secara runtut halaman per halaman3. Kerjakan pada tempat yang disediakan jika terdapat gambar4. Lakukan sebaik mungkin proyek pada kegiatan belajar sesuai aturan yang ada dan tuliskan hasilnyapada tempat yang disediakan7. Kerjakan soal latihan pada kegiatan belajar secara mandiri untuk mengukur kemampuanmu dalammemberikan contoh bilangan berpangkat bulat positif dan negatif8. Akhiri belajarmu dengan doaUraian MateriPerhatikan juga sifat-sifat bilangan berpangkat di bawah 3 jenis bilangan berpangkat yang perlu diketahui, yaitu 1. Bulat PositifOperasi bilangan berpangkat bulat positif memiliki beberapa sifat yang dapat digunakan untukmempermudah dalam perhitungan. Berikut adalah sifat-sifat operasi bilangan tersebut a. Perkalian bilangan berpangkatSupaya lebih jelas, cobalah perhatikan contoh dalam tabel berikut sifat pertama, perkalian bilangan ini bisa dituliskan dengan rumus am x an = am+n  Contoh soal Sederhanakan bentuk perkalian bilangan berpangkat ini 42 x 44penyelesaian 42 x 44 = 42+4 = 46 b. Pembagian bilangan berpangkatDalam sifat yang kedua, pembagian bilangan berpangkat bisa dituliskan dengan rumus am an = am-n Contoh soal Sederhanakan bentuk pembagian bilangan ini 36 34penyelesaian 36 34 = 36-4 = 32 c. Perpangkatan bilangan berpangkatDalam sifat yang ketiga dapat dituliskan dengan rumus amn = amxn Contoh soal Sederhanakan bentuk perpangkatan ini 324?Penyelesaian 324 = 32×4 = 38 d. Perkalian Bilangan Berpangkat SamaDalam sifat yang keempat dapat dituliskan rumus sebagai berikut am x bm = a x bm Contoh soal Sederhanakan bentuk perkalian bilangan berpangkat ini 23 x 53?Penyelesaian 23 x 53 = 2 x 53 = 103 e. Pembagian Bilangan Berpangkat SamaDalam sifat yang kelima dapat dituliskan dengan rumus Contoh soal Tentukan bentuk lain dari pembagian bilangan berpangkat 35/45Penyelesaian 35/45 = 3/45 2. Pangkat NolJika a adalah suatu bilangan bulat bulan nol a ≠ 0, maka berlaku a0 = 1 Contoh soal Hitunglah hasil dari perpangkatan berikut 100 ? dan 1000 ?Penyelesaian dengan mengingat nilai a0 = 1, maka 100 = 1 dan 1000 = 1 3. Bulat NegatifJika a adalah suatu bilangan bukan nol a ≠ 0 berpangkat bulat negatif, maka berlaku a-n = 1/an  Contoh soal Ubahlah bentuk 5-2 menjadi bilangan berpangkat positifPenyelesaian dengan mengingat sifat bilangan berpangkat bulat negative maka jawabannya5-2 = 1/52 = 1/25Jadi bentuk bilangan berpangkat positif dari 5-2 adalah 1/25Contoh Soal dan Pembahasan 1. 3a5 x 9a3 + 5a8Pembahasan Untuk mengerjakan diatas, pertama-tama kalian harus menyelesaikan operasi perkalianterlebih dahulu dengan menggunakan sifat pertama pada bilangan berpangkat bulat positifbaru kemudian melakukan operasi penambahan, sebagai berikut3a5 x 9a3 + 5a8 = 3 x 9 x a5 x a3 + 5a8 = 27 x a5+3 + 5a8 = 27 a8 + 5a8 = 32 Meskipun soal ini menyajikan bilangan berpangkat bulat negatif, kalian jangan sampaiterkecoh ya otakers atau bahkan menyulitkan diri sendiri dengan menjadikan seluruhpembilang dan penyebutnya ke dalam bentuk pecahan di dalam pecahan. Kalian bisa, lho,menerapkan sifat pertama bilangan berpangkat bulat positif pada operasi perkalian yang adadi dalam soal ini. Oh iya, jangan lupa untuk menjadikan semua bilangan bulat ke dalam bentukpemangkatannya bila memungkinkan untuk semakin memudahkan kalian menghitung, sebagaiberikutKegiatan Belajar 3  Membandingkan dua atau lebih bilangan berpangkat bulat positif dan negatif Tujuan Pembelajaran  Peserta didik mampu membandingkan dua atau lebih bilangan berpangkat bulat positif dan negatif Petunjuk Mempelajari Kegiatan Belajar 31. Awali belajarmu dengan doa2. Baca dan pahami uraian materi yang ada pada Kegitatan Belajar secara runtut halaman per halaman3. Kerjakan pada tempat yang disediakan jika terdapat gambar4. Lakukan sebaik mungkin proyek pada kegiatan belajar sesuai aturan yang ada dan tuliskan hasilnyapada tempat yang disediakan7. Kerjakan soal latihan pada kegiatan belajar secara mandiri untuk mengukur kemampuanmu dalammemberikan contoh bilangan berpangkat bulat positif dan negatif8. Akhiri belajarmu dengan doaUraian MateriFaktor Bilangan Bilangan bulat a dikatakan faktor dari bilangan bulat b jika ada bilangan bulat nsedemikian sehingga a × n = dikatakan faktor dari dari 6 karena ada bilangan 3sedemikian sehingga 2 × 3 = 6. Setelah memahami tentang faktor, siswa diharapkan bisamengubah bilangan- bilangan yang sangat besar menjadi bilangan berpangkat. Untukmenentukan faktor-faktor dari bilangan desimal tersebut, salah satu caranya adalah denganmembagi bilangan tersebut secara menjadikan bilangan desimal 648menjadi bilangan 2324 2162 281 327 39 33 31648 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 ×3 ×3 = =23 × 34Membandingkan Bilangan Berpangkat Besar Setelah mengamati bentuk bilangan berpangkat tersebut, siswa diharapkanbisa membandingkan bentuk bilangan berpangkat. Amati Contoh 1 1 Tentukan bilangan yang lebih besar antara 56 dengan 65 Kalau dalambilangan desimal, untuk membandingkan cukup mudah, yaitu dengan melihatangka-angka penyusunnya. Namun, untuk bilangan berpangkat tidak semudah sebagian dari siswa menduga bahwa antara bilangan 56 dengan 65 adalahsama besar karena angka-angka penyusunnya sama, tetapi berbeda posisi. Untukmembuktikan kebenaran dugaan tersebut, kita bisa rinci bilangan berpangkattersebut menjadi bilangan desimal lebih dulu. 56 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = Ternyata setelah mengubah menjadi bilangan desimal,nampak bahwa 56 lebih dari pada contoh 1 di atas cukup efektif untukdigunakan membandingkan bilangan berpangkat. Namun, ada kalanya suatubilangan tidak perlu dijadikan ke dalam bentuk desimalnya untuk bisamembandingkannya. Perhatikan Contoh 2 berikut. Guru mengajak siswa untuk membandingkan dua bilangan berpangkat yangcukup besar tanpa menjabarkan menjadi bilangan desimal terlebih dahuluContoh 2 Tentukan bilangan yang lebih besar antara bilangan 100101 dengan 101100 .Kedua bilangan tersebut cukup susah untuk dituliskan ke dalam bilangan desimal,karena angkanya yang relatif banyak. Dengan menggunakan kalkulator sederhanatidak akan bisa menghasilkan bilangan desimalnya karena pada kalkulator tersebuthanya terbatas sampai 9 angka membandingkan bilangan berpangkatyang cukup besar tersebut, kalian bisa melakukan semacam percobaan untukbilangan-bilangan yang lebih kecil, tetapidengan pola yang > 43 45> 54 56>65. Lanjutkan untuk melakukan beberapa percobaan lagi agar lebih meyakinkankalian. Dengan melakuakan percobaan tersebut kita bisa menggeneralisasi bahwa100101 > Lengkapilah tabel berikut!!!! Bilangan Bilangan Berpangkat149 = ....100 = ....0,01 = ...25 = ...0,1 = ...Kesimpulan apa yang kamu peroleh setelah melengkapi tabel di atas?Jawab 2. Permukaan bumi ini kasar dan berbentuk seperti bola. Beratnya sangat besar, yaitu sekitar kg. Tulislah bilangan tersebut dalam bentuk bilangan Tes Formatif!!1. Lengkapilah tabel berikut! Bilangan Bilangan Berpangkat125 = ...625 = ... 1 = ...216 1 = ...72964 = ...0,1331 = ...225 = ...Kesimpulan apa yang kamu peroleh setelah melengkapi tabel tersebut?Jawab 2. Bilangan dapat diubah menjadi bilangan berpangkat, yaitu..3. Bilangan 1 dapat diubah menjadi bilangan berpangkat, yaitu... 3434. Urutkan bilangan 35, 53,33,24,42 dari yang terbesar ke yang terkecil..5. Satu liter l sama dengan 106 milimeter kubik 3. Dalam 1 3 darah terdapat 5 103 sel darah merah. Hitunglah banyaknya sel darah merah dalam 1 l darah manusia!6. Sederhanakanlah bilangan berpangkat berikut ini!7. Sederhanakanlah bilagan berpangkat berikutJawab Jawab Kunci Jawaban Tes Formatif1. Jawab Bilangan Bilangan Berpangkat 53125 = ... 252625 = ... 6−3 1 = ... 9−3216 82 1 = ... 11−3 15272964 = ...0,1331 = ...225 = ...2. 573. 7−34. 24,24,35,42,535. Diketahui 1 l = 106 3 1 3 = 5 106 3 sel darah merahBanyaknya sel darah merah dalam 1 l darah manusia adalah= 1065 106= x 5 x 5 x x 5 x 5 1012Jadi dalam 1 liter darah manusia terdapat 5 1012 sel darah merah8. Jawab9. JawabRANGKUMAN Bilangan berpangkat merupakan perkalian berulang suatu bilangan, dimana bilangandapat berpangkat bulat positif, nol, maupun bulat negatif. Secara sederhana penulisan bilanganjenis ini adalah sebagai berikut an = a x a x a x…..x aa disebut bilangan pokok atau basis, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen. a. Bilangan Berpangkat PositifBilangan berpangkat positif adalah bilangan yang memiliki pangkat atau eksponen dari bilangan berpangkat positif dapat didefinisikan seperti gambar di bawah ini Keterangan a = bilangan pokok/basis, yang dalam hal ini berupa bilangan realn = eksponen/pangkat, yang berupa bilangan positifbilangan berpangkat positif juga memiliki beberapa sifat, yaitu am x an = am+n am an = am-n , untuk m>n dan b ≠ 0 amn = amn abm = am bm a/bm = am/bm , untuk b ≠ 0Sifat berpangkat selanjutnya yaitu bilangan berpangkat yang dipangkatkan berpangkat satu ini berkaitan dengan operasi perkalian terhadap kelompok Bilangan Berpangkat NegatifBilangan berpangkat negatif merupakan bilangan yang memiliki pangkat atau eksponennegatif -. Adapun sifat-sifat bilangan berpangkat negatif yaituApabila suatu bilangan berpangkat an dengan a berupa Bilangan Real dan a ≠ 0,dan n ialah bilangan bulat negatif, jadi c. Bilangan Berpangkat NolSelain bilangan berpangkat positif dan bilangan berpangkat negatif, ternyata dalam dalamoperasi bilangan berpangkat juga ada bilangan berpangkat nol 0. Sifat untuk bilanganberpangkat nol 0 ialah “Apabila a adalah bilangan real dan a tidak sama dengan 0, makaSifat ini didapat dari uraian sifat bilangan bulat positif sebelumnya yaituSifat ini didapat dari uraian sifat bilangan bulat positif sebelumnya yaitu
Maka-45 sama dengan 010010. Jika P merupakan suatu bilangan positif, bilangan komplemen satu n bit - P juga dapat diperoleh dengan mengurangkan P dari 2n - 1. Atau, bilangan komplemen satunya menjadi (2n - 1) - P. Contohnya adalah jika P = 45, -P (Sistem bilangan komplemen satu jarang digunakan karena tidak memenuhi satu kaedah
Pengertian Bilangan – Apa itu bilangan? Bilangan merupakan kumpulan angka yang menempati urutan dari kanan sebagai nilai satuan, puluhan, ratusan, ribuan dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya lagi kami kan membahas materi makalah Pengertian Bilangan Dan Macam-Macam Bilangan Secara lengkap beserta contohnya. Maka simaklah pembahsannya di bawah ini. Pengertian BilanganMacam-Macam BilanganBilangan PrimaBilangan BulatBilangan CacahBilangan AsliBilangan NolBilangan RealBilangan PecahanBilangan rasionalBilangan IrrasionalBilangan PositifBilangan NegatifBilangan GanjilBilangan GenapBilangan KompositBilangan RiilBilangan ImajinerBilangan KuadratBilangan KompleksBilangan RomawiShare thisRelated posts Bilangan merupakan kumpulan angka yang menempati urutan dari kanan sebagai nilai satuan, puluhan, ratusan, ribuan dan seterusnya. Pengertian lain, bilangan merupakan konsep matematika yang dipakai untuk pencacahan dan pengukuran. Lambang dan simbol yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut dengan angka atau lambang bilangan. Konsep bilangan yang sudah bertahun-tahun lamanya sudah diperluas meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks. Macam-Macam Bilangan Terdapat berbagai macam jenis bilangan, berikut ini adalah penjelasan tentang macam-macam bilangan beserta contohnya lengkap. Bilangan Prima Bilangan prima adalah bilangan yang tidak dapat dibagi oleh bilangan lainnya atau disebut dengan bilangan asli kecuali bilangan itu sendiri dan 1. Contoh P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …..} Bilangan Bulat Bilangan bulat merupakan himpunan bilangan bulat negatif, bilangna nol dan bilangan bulat positif. Contoh B = {…-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…..} Bilangan Cacah Bilangan cacah yakni adalah suatu himpunan bilangan bulat yang tidak memiliki nilai negatif dan dimulai dari angka nol Contoh C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10….} Bilangan Asli Bilangan asli ialah himpunan bilangan bulat yang dimulai dari angka satu dan seterusnya ke atas, sedangkan logikawan menjelaskan bahwa bilangan asli termasuk dengan himpunan 0 nol. Contoh N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…} Bilangan Nol Bilangan nol merupakan bilangan nol 0 itu sendiri. Contoh N = {0} Bilangan Real Bilangan real merupakan suatu himpunan bilangan berupa gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irasional. Contoh R = { 0, 1, ¼, ⅔, √2, √5, ….. } Bilangan Pecahan Bilangan pecahan adalah bilangan yang memiliki penyebut dan pembilang. Misalnya saja 1/2, angka 1 = penyebut dan angka 2 = pembilang. Contoh H = { ⅓, ⅔, ⅛, ….. } Bilangan rasional Bilangan rasional merupakan suatu bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan penjelasan a dan b adalah merupakan bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0 b ≠ 0 . Contoh R = { ¼, ¾, …. } Bilangan Irrasional Bilangan irrasional merupakan suatu himpunan bilangan real yang tidak dapat di bagi, bilangan irrasional juga tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. Contoh I = { √2, √3, √5, √6, √7, ….. } Keterangan √9 = 3 berarti √9 bukan bilangan irrasional. Bilangan Positif Bilangan positif merupakan bilangan yang bernilai positif selain nol. Contoh P = {2, 3, 4, 5, ¼, ….} Bilangan Negatif Bilangan negatif ialah bilangan yang bernilai negatif. Contoh N = { -5, ¼, …. } Keterangan -1/-4 = ¼, jadi -1/-4 bukan bilangan negatif. Bilangan Ganjil Bilangan ganjil ialah suatu bilangan yang jika dibagi 2Dua maka akan tersisa 1 atau bilangan yang dapat dinyatakan dengan 2n-1 dengan n adalah bilangan bulat. Contoh Ga = {-3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,…. } Bilangan Genap Bilangan genap merupakan suatu bilangan yang akan habis jika dibagi menjadi 2dua. Contoh Ge = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,…} Bilangan Komposit Bilangan komposit ialah bilangan asli yang lebih besar dari satu namun tidak termasuk dalam bilangan prima. Contoh K = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16,….} Bilangan Riil Bilangan Riil ialah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimal. Contoh L = { 5/8, log 10,…} Bilangan Imajiner Bilangan imajiner merupakan bilangan i satuan imajiner, dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i2 = -1 bilangan kompleks Contoh I = { i, 4i, 5i, …..} Bilangan Kuadrat Bilangan kuadrat merupakan bilangan yang dihasilkan dari perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyak dua kali dan disimbolkan dengan pangkat 2. Contoh K = {22, 32,42,52,62,…} Bilangan Kompleks Bilangan kompleks merupkan suatu bilangan yang memiliki notasi seperti a + bi, yang mana a dan b adalah himpunan bilangan real, dan i merupakan himpunan bilangan imajiner. Contoh K = {2-3i, 8+2, …..} Bilangan Romawi Bilangan romawi merupakan suatu sistem penomoran yang berasal dari romawi kuno menggunakan huruf latin yang melambangkan angka numerik. Contoh M = {I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, XI, X, XI, C, CC, CD, D, CM, M,…..} Demikianlah pembahasan kami mengenai materi Pengertian Bilangan Dan Macam-Macam Bilangan, Semoga bermanfaat.. Artikel lainnya Contoh Reaksi Asam Basa – Pengertian, dan Teori Asam Basa Pengertian Destilasi – Prinsip, Tujuan, Dan Macam-Macam Contoh Perubahan Kimia dan Ciri-Ciri Perubahan Kimia
Jikan adalah suatu bilangan bulat negatif manakah hasil yang menunjukkan bilangan terbesar a.3+n b.3×n c.3-n d.3:n 3. hasil dari 370×998+370×2bernilai sama dengan a.370×1000 b.372×998 c.740×998 d.370×998×2 1 Lihat jawaban Iklan Iklan arsetpopeye arsetpopeye

Bilangan negatif menjadi salah satu materi dalam pelajaran Matematika yang harus anak kuasai. Matematika menjadi sebuah pelajaran wajib yang ada di setiap jenjang pendidikan mulai dari SD hingga SMA. Penting bagi anak untuk mempelajarinya dengan baik, terutama memahami konsepnya agar bisa menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari. Perlu diketahui bersama bahwa bilangan bulat terdiri atas dua bilangan yakni positif atau cacah, serta negatif. Keduanya memiliki rumus yang berbeda. Lantas, apa itu bilangan negatif dan apa saja rumusnya, serta seperti apa contoh soalnya? Tanpa berlama-lama, berikut akan kami rangkumkan ulasannya pada artikel di bawah ini. Yuk, disimak sampai akhir, ya! Sumber Pexels Bilangan negatif adalah semua angka yang lebih kecil dari 0, sehingga angkanya tidak lagi dimasukkan secara terpisah. Jika angka positif atau cacah merupakan angka yang terdiri dari 0, 1, 2, 3, dan seterusnya, maka bilangan bulat negatif memiliki tanda tersendiri seperti lambang, simbol, atau tanda lainya sebagai penanda dari bilangan lainnya. Tanda dari bilangan negatif sendiri adalah - atau minus, yang diletakkan di bagian depan bilangan atau angka. Berikut contoh penulisannya -4, -3, -2, -1. Semakin angka tersebut ke kiri dan jauh dari angka 0, maka nilai dari angka tersebut otomatis akan semakin besar. Baca juga Seri Belajar Matematika Pengertian, Sifat, dan Contoh Soal Bilangan Cacah Rumus Bilangan Negatif Sumber Pexels Dalam menghitung bilangan bulat negatif, terdapat beberapa rumus yang perlu anak ketahui untuk memecahkan setiap soal yang ada. Di antaranya adalah sebagai berikut Bila angka negatif - bertemu angka negatif -, maka hasilnya akan menunjukkan angka positif +. Jika angka negatif - bertemu angka positif +, maka hasilnya akan menunjukkan angka negatif -. Jika angka positif + bertemu angka positif +, maka hasilnya akan menunjukkan angka positif +. Bila angka positif + bertemu angka negatif -, maka hasilnya akan menunjukkan angka negatif -. Jika angka negatif - dijumlahkan dengan angka negatif - maka hasilnya juga pasti negatif -. Jika angka negatif - mempunyai nilai lebih besar dari angka positif + dan dijumlahkan maka hasilnya adalah angka negatif -. Bila angka negatif - dikalikan dengan angka negatif -,maka hasilnya akan menjadi angka negatif -. Jika angka negatif - dibagi dengan angka negatif -, maka hasilnya akan menjadi angka negatif -. Baca juga Belajar Matematika - Cara Mengalikan Bilangan Dengan Cepat Contoh Soal Bilangan Negatif Sumber Pexels Untuk memahami rumus di atas, berikut contoh yang bisa diketahui −8 − 10 = −8 + −10 12 − −4 = 12 + 4 Dari contoh soal-soal di atas, kita akan mengubah terlebih dulu pengurangan menjadi penjumlahan, dan mengubah tanda dari bilangan keduanya menjadi lawannya. Sehingga lebih memudahkan untuk menghitung jumlah dari angka-angka tersebut. Agar lebih mudah untuk memahami dan mempraktekkan rumus-rumus yang sudah disebutkan sebelumnya. Berikut akan kami siapkan beberapa contoh soal beserta cara menjawabnya. Di antaranya contoh soalnya adalah sebagai berikut 1. Hitunglah hasil dari –5 – –6 = ... Jawaban −5+6 = 1 2. Hitunglah hasil dari 20+16–2––2×3 = ... Jawaban 20+18–3––2 × 3 = 20–8––6 = 12+6 = 18 Baca juga Belajar Matematika Asyik dengan LEGO 3. Hitunglah hasil dari 59 – 4059= 72–45 = … Jawaban 59 – 4059= 72–45 = 14 4. Hitunglah hasil dari 213 – 10 + 4×–2 = ... Jawaban 21 3–10+4×–2 = 21–7–8 = –3–8 = – 14 5. Hitunglah hasil dari 27 + 7×–5 = ... Jawaban 27 + 7 × –5 = 25 – 35 = –8 6. Hitunglah hasil dari –12 + 30 × 2 ––6 3 = ... Jawaban –12 + 30 × 2––6 3 = –12 + 60 + 6 3 = 48 + 2 = 50 7. Hitunglah hasil dari 27 + 18–3––2×3 = ... Jawaban 27+18–3––2 × 3 = 27–6––6 = 21+6 = 27 8. Hitunglah hasil dari -8 – -3 + -2 = ... Jawaban -8 + 3 – 2 -5 – 2 = -7 9. Hitunglah hasil dari Semangkuk es krim yang dimiliki Luna berada pada suhu 9ºC di bawah nol. Kemudian ia mengeluarkan es krim tersebut dari dalam freezer dan didiamkan selama beberapa saat. Es krim tersebut kini berubah suhu menjadi 11ºC. Berapa kenaikan suhu pada semangkuk es krim milik Luna? Jawaban 9ºC dibawah nol = -9ºC. -9ºC + n = 11ºC Hasilnya menjadi n = 11ºC – -9ºC n = 11ºC + 9ºC n = 20ºC 10. Hitunglah hasil dari Pada awalnya suhu dalam suatu ruangan adalah 35° C. Kemudian ruangan akan dipergunakan untuk menyimpan telur ayam dan suhunya diturunkan menjadi –3° C. Berapa besar perubahan suhu pada ruangan tersebut adalah? Jawaban Perubahan suhu = 35°C––3°C = 35°C+3°C = 38°C Nah, itulah sederet informasi mengenai bilangan bulat berupa pengertian, rumus menyelesaikan, dan juga contoh soalnya. Semoga bermanfaat dan bisa dijadikan pembelajaran serta latihan matematika bagi anak-anak Parents di rumah, ya! Baca juga Mengenal Bilangan Bulat, Cara Menghitung dan Contoh Soalnya Bilangan Prima Contoh, Tabel, Rumus, dan Cara Menentukan Jenis-Jenis Bilangan dan Contohnya dari Bilangan Prima hingga Cacah Parenting bikin pusing? Yuk tanya langsung dan dapatkan jawabannya dari sesama Parents dan juga expert di app theAsianparent! Tersedia di iOS dan Android.

adalah (1) ketertutupan bilangan bulat positif: pq dan pq adalah bilangan-bilangan bulat positif untuk semua bilangan-bilangan bulat positif p dan q. (2) hukum trikotomi Untuk setiap pZ berlaku salah satu dari pp! 0, 0, atau p 0. Himpunan bilangan bulat Z disebut suatu himpunan yang terurut karena Z memenuhi hukum trikotomi. Contoh 1.2 Pertama, perhatikan pernyataan habis dibagi 6 untuk setiap bilangan non-negatif n . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan non-negatif n , yaitu n ≥ 0 , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar. LANGKAH 1 Buktikan benar. Perhatikan pernyataan habis dibagi 6 maka habis dibagi 6 Perhatikan bahwa Karena 12 habis dibagi 6, maka habis dibagi 6. Sehingga benar. LANGKAH 2 Buktikan untuk sembarang bilangan bulat non-negatif k , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Perhatikan pernyataan habis dibagi 6 Asumsikan habis dibagi 6 bernilai benar. Perhatikan pernyataan habis dibagi 6 Perhatikan bahwa Karena 6 habis dibagi 6, maka juga habis dibagi 6. Karena habis dibagi 6, maka juga habis dibagi 6. Dengan demikian, didapat bahwa habis dibagi 6 atau bernilai benar. Karena 1. benar. 2. Untuk sembarang bilangan bulat non-negatif k , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Maka, benar untuk setiap bilangan bulat non-negatif n , menurut prinsip induksi matematika. Kemudian, perhatikan pernyataan habis dibagi 5 untuk setiap bilangan non-negatif n . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan non-negatif n , yaitu n ≥ 0 , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar. LANGKAH 1 Buktikan benar. Perhatikan pernyataan habis dibagi 5 Maka habis dibagi 5 Perhatikan bahwa Karena 0 habis dibagi 5, maka habis dibagi 5. Sehingga benar. LANGKAH 2 Buktikan untuk sembarang bilangan bulat non-negatif k , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Perhatikan pernyataan habis dibagi 5 Asumsikan habis dibagi 5 bernilai benar. Perhatikan pernyataan abis dibagi 5 Perhatikan bahwa Karena 5 habis dibagi 5, maka juga habis dibagi 5. Karena habis dibagi 5, maka juga habis dibagi 5. Dengan demikian, didapat bahwa habis dibagi 5 atau bernilai benar. Karena 1. benar. 2. Untuk sembarang bilangan bulat non-negatif k , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Maka, benar untuk setiap bilangan bulat non-negatif n , menurut prinsip induksi matematika. Pernyataan 1 “3 membagi " Perhatikan bahwa Karena “ habis dibagi 6” bernilai , maka juga habis dibagi 6. Selanjutnya, karena 6 = 2 × 3 dan 2 habis dibagi 2, maka pasti abis dibagi 3 atau 3 membagi . Maka pernyataan 1 bernilai benar. Pernyataan 2 “ membagi 15” Karena “ habis dibagi 5” bernilai benar dan pada penjelasan pernyataan 1 juga telah ditunjukkan bahwa habis dibagi 3, maka pasti perkaliannya, yaitu , juga habis dibagi 5 × 3 = 15 . Dengan kata lain, habis dibagi 15 atau 15 membagi . Perhatikan bahwa belum tentu membagi 15. Maka pernyataan 2 tidak terbukti benar. Pernyataan 3 “10 membagi ” Perhatikan bahwa karena 2 membagi 2 dan 5 membagi , maka 2 × 5 = 10 juga membagi . Kemudian, karena 10 membagi , maka 10 juga membagi . Maka pernyataan 3 bernilai benar. Dengan demikian, pernyataan yang bernilai BENAR adalah pernyataan 1 dan 3. Jadi, jawaban yang tepat adalah B. Jikaa dan b bilangan-bilangan bulat yang sekurang-kurangnya satu di antaranya tidak sama dengan nol, maka faktor persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b ditulis "(a, b)" adalah suatu bilangan bulat positif d yang memenuhi (i ≤ k = r - a < r. hal ini tidak mungkin, karena r adalah bilangan bulat tak negatif yang terkecil dalam S Jawaban yang benar adalah c. 3-n. Soal menanyakan hasil yang menunjukkan bilangan terbesar jika n adalah suatu bilangan bulat negatif. Konsep Operasi hitung bilangan bulat positif dan negatif. Jika bilangan bulat positif dikalikan atau dibagi dengan bilangan bulat negatif, maka hasilnya adalah bilangan bulat negatif. Pembahasan Berikut ini adalah pembahasan dari masing-masing opsi jawaban soal. a. 3+n -> jika bilangan bulat positif ditambah dengan bilangan bulat negatif, maka hasilnya dapat berupa bilangan bulat positif atau bilangan bulat negatif, tergantung nilai n nya b. 3×n -> jika bilangan bulat positif dikalikan dengan bilangan bulat negatif, maka hasilnya pasti bilangan bulat negatif c. 3-n -> jika bilangan bulat positif dikurangi dengan bilangan bulat negatif, maka hasilnya adalah bilangan bulat positif d. 3Ãn -> jika bilangan bulat positif dibagi dengan bilangan bulat negatif, maka hasilnya pasti bilangan bulat negatif. Dari keempat opsi di atas, yang merupakan bilangan bulat positif adalah 3-n, jadi bilangan terbesar adalah hasil perhitungan 3-n. Kesimpulan Jadi, jawaban yang benar adalah c. 3-n. Jadi tiga bilangan bulat positif berurutan adalah n, n+1, dan n+2. Kita tahu bahwa sembarang bilangan bulat positif dapat berbentuk 6q, atau 6q+1, atau 6q+2, atau 6q+3, atau 6q+4, atau 6q+5. {Dari lemma pembagian Euclid untuk b= 6} BulatNegatif. Jika a adalah suatu bilangan bukan nol (a ≠ 0) berpangkat bulat negatif, maka berlaku a-n = 1 a n. Contoh soal : Ubahlah bentuk 5-2 menjadi bilangan berpangkat positif. Pembahasan : dengan mengingat sifat bilangan berpangkat bulat negatif maka jawabannya. 5-2 = 1 5 2 = 1 25. Jadi bentuk bilangan berpangkat positif dari 5-2
Ditentukan𝑚 adalah suatu bilangan bulat positif. Banyaknya residu di dalam suatu sistem residu tereduksi modulo 𝑚 disebut fungsi 𝜙-Euler dari 𝑚, dan dinyatakan dengan 𝜙(𝑚). Jika 𝑛 adalah suatu bilangan bulat positif sehingga 𝑛 𝑚𝑜𝑑 𝑛 , maka 𝑛 adalah suatu bilangan prima. Contoh 3.21 (15- 1)! = 14
Karenan suatu bilangan positif yang lebih besar dari 1, maka n mempunyai sekurang-kurangnya satu factor bulat positif, katakana n sendiri. Sehingga n mesti mempunyai fa k tor bulat positif terkecil, misalnya q, maka q adalah suatu bilangan prima. Sebab jika q bukan bilangan prima, mak a q= q 1 q 2 dengan wBYf.
  • w4c8yus0bk.pages.dev/875
  • w4c8yus0bk.pages.dev/780
  • w4c8yus0bk.pages.dev/157
  • w4c8yus0bk.pages.dev/763
  • w4c8yus0bk.pages.dev/777
  • w4c8yus0bk.pages.dev/722
  • w4c8yus0bk.pages.dev/225
  • w4c8yus0bk.pages.dev/817
  • w4c8yus0bk.pages.dev/999
  • w4c8yus0bk.pages.dev/573
  • w4c8yus0bk.pages.dev/777
  • w4c8yus0bk.pages.dev/975
  • w4c8yus0bk.pages.dev/387
  • w4c8yus0bk.pages.dev/434
  • w4c8yus0bk.pages.dev/681

    • jika n adalah suatu bilangan bulat negatif